Fundamentos Matemáticos del Simulador

Bueno como es conocido el motor matemático que esta por detrás en un simulador es muy amplio y complejo para poder explicarlo por este medio, por lo tanto en esta entrada tratare únicamente las ecuaciones más básicas usadas en la simulación numérica de yacimientos.

Como es sabido para poder simular o modelar un yacimiento es necesario volver discreto el espacio continuo, en la simulación la discretización del yacimiento se hace mediante lo conocido como “celdas”, una celda es una porción del yacimiento con características homogéneas, es decir a una celda se asocian ciertas propiedades de la roca y de los fluidos que no cambian en la extensión de la celda.

Todo el yacimiento como se menciono anteriormente es discretizado en celdas, la totalidad de las celdas forman lo que se llama un GRID o mallado, sobre este modelo geométrico del yacimiento es que los simuladores numéricos comenzaran a trabajar para resolver los cálculos

Conservación de la masa

Ecuación de continuidad

La ecuación de continuidad puede ser derivada considerando el flujo de fluidos que entra y sale de una celda. Para esta demostración el símbolo J denotara el flujo de fluidos. El flujo está definido como la relación del flujo de masa por unidad de una sección de área normal a la dirección de flujo

Por la conservación de la masa:

Masa Entrante – Masa Saliente = Masa Acumulada

Si se tiene una celda de dimensiones Δx, Δy, Δz, se puede escribir la masa que entra en un intervalo Δt como:

Donde los términos (Ji)i representan los flujos par cada dirección, y ahora la masa que sale está definida por:

Donde el termino q representa el flujo másico de la fuente o del sumidero.

Ahora la acumulación de la masa en la celda es el cambio en la concentración (Cl) de la fase l en la celda para un intervalo de tiempo Δt, si la concentración Cl está definida como la masa total de la fase l (Petróleo, agua o gas) en la celda dividida por el volumen de la celda, entonces la acumulación de la masa puede definirse como:
Si:

Masa Entrante – Masa Saliente = Masa Acumulada

sustituyendo en esta ecuación las ecuaciones anteriores tenemos:

si dividimos todo entre ΔxΔyΔzΔt y reordenamos queda:
ahora tomando el limite cuando Δx, Δy, Δz, Δt tienden a cero queda

Esta ecuación dada anteriormente se satisface para cualquier fase, es decir para el agua, petróleo y gas.

Una vez determinada la ecuación para que controla la conservación de la masa para las celdas se puede continuar con la demostración de las ecuaciones que determinan el flujo de fluidos para cada celda.

Desarrollo de las ecuaciones de flujo para un simulador Black Oil

Las ecuaciones de flujo para sistemas de agua, petróleo y gas se determinan mediante la especificación de los flujos y las concentraciones de las ecuaciones de conservación para cada uno de los tres componentes en cada una de las tres fases. El flujo esta dado para cada dirección y puede escribirse como :

Donde Rso y Rsw son las solubilidades del petróleo y del agua respectivamente, Bo, Bw y Bg son los factores volumétricos de formación para el petróleo, agua y gas, el subíndice sc denota condiciones estándar (60ºF y 14.7 psia) y ρ denota a la densidad, las velocidades son asumidas que son velocidades tipo darcy para cada dirección acá están los de la dirección x

donde g es la aceleracion de la gravedad y gc=g para esta demostración, estas ecuaciones pueden ser escrita de la misma forma para las direcciones y y z.

ahora si la movilidad relativa es la relación de las permeabilidades relativas de la fase fluyente entre la viscosidad se tiene:

y la densidad de las fases esta relacionada con los factores volumétricos de formacion y las solubilidades se tiene:

ahora si las concentraciones de cada fase vienen dada por:

Donde φ es la porosidad y Sl la saturación de la fase l donde las saturaciones satisfacen:

So+Sw+Sg=1

combinando las ecuaciones anteriores y sustituyendolas en la ecuación de continuidad obtenemos:

Componente de petróleo en la fase petróleo

Componente del agua en la fase agua

Componente de gas en las fases petróleo, agua y gas:

La densidad a condiciones estándar es una constante y puede se dividida si sacada de la derivada obteniendo:

Petróleo

Agua

Gas

donde al juntar las ecuaciones para cada fase tendremos la ecuacion de flujo para 3 fases tridimensiona, ahora si reescribimos la ecuación pero de forma vectorial tenemos:

donde el termino: representa la divergencia del vector velocidad, q es espresado matematicamente de la forma: